La phase décide du niveau
Pour deux amplitudes A et B séparées par φ : R = √(A² + B² + 2AB cos φ).
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01 · SIGNAL & SYSTEMS
Signal et systèmes
Deux signaux peuvent se renforcer, s’annuler ou produire un mouvement. Un système transforme ensuite ce qu’il reçoit selon des règles que l’on peut mesurer.
x₁(t)+x₂(t)=y(t)
01
PRINCIPE DE SUPERPOSITION
La somme se fait point par point
À chaque instant, les amplitudes s’additionnent. Deux sinusoïdes identiques et en phase donnent une amplitude plus grande. Avec un décalage de 180°, l’une est positive lorsque l’autre est négative : elles peuvent s’annuler.
Le niveau respire
La vitesse des battements vaut la différence absolue : f battement = |f₂ − f₁|.
Chaque fréquence réagit
Un même délai ne correspond pas au même angle de phase pour toutes les fréquences.
LABORATOIRE
Sommer deux sinusoïdes
Le second signal est coupé au départ. Ajoute-le, puis change une seule relation à la fois.
TEMPS · TIME DOMAIN
Signal ASignal BSomme
Le signal B est à zéro : seule la sinusoïde A est entendue.
02
PHASE ≠ DÉLAI
Un délai fait tourner la phase selon la fréquence
Pour une sinusoïde de fréquence f retardée de τ secondes, le déphasage vaut φ = 360° × f × τ. Un retard de 1 ms représente 36° à 100 Hz, mais 360° à 1 kHz.
Fréquence
Délai
Déphasage
100 Hz
1 ms
36°
500 Hz
1 ms
180°
1 kHz
1 ms
360°
03
ENTRÉE → SYSTÈME → SORTIE
Décrire un traitement par sa réponse
Un système linéaire invariant dans le temps (Linear Time-Invariant, LTI) respecte la superposition et ne change pas de comportement au fil du temps. Sa réponse impulsionnelle contient tout ce qu’il fait au signal.
Signal x(t)∗Réponse h(t)=Sortie y(t)
Le symbole ∗ représente la convolution. Dans le temps, on additionne des copies décalées et pondérées de la réponse. Dans le domaine fréquentiel, cela revient à multiplier les spectres.
Réponse en fréquence
Elle indique le gain et la phase appliqués à chaque fréquence.
Réponse impulsionnelle
Réflexions et décroissance permettent de recréer sa réverbération par convolution.
Hors modèle LTI
Une saturation crée de nouvelles fréquences : une simple réponse impulsionnelle ne suffit plus.
04
CONVOLUTION · IMPULSE RESPONSE
Chaque échantillon déclenche la réponse
La réponse impulsionnelle d’un système, c’est ce qu’il fait d’un clic parfait : une seule impulsion en entrée, et tout ce qui en ressort. Or n’importe quel signal numérique est une suite d’impulsions, une par échantillon, chacune avec sa hauteur. Si le système est linéaire et ne change pas dans le temps, chacune de ces impulsions produit une copie de la réponse, à sa hauteur et à sa place. La sortie est la somme de toutes ces copies : c’est la convolution.
y[n] = Σ x[k] · h[n − k]Pour chaque échantillon d’entrée x[k], on pose la réponse h décalée de k et multipliée par x[k], puis on additionne tout.
Construire la sortie pas à pas
Convoluer, c’est filtrer
La convolution dans le temps équivaut à une multiplication des spectres : le spectre de la sortie est celui de l’entrée multiplié par celui de la réponse. Une réponse de quelques millisecondes est donc un égaliseur ; une réponse de plusieurs secondes, une pièce entière.
Des millions d’opérations
Une réponse de 3 s à 48 kHz compte 144 000 échantillons : autant de multiplications pour chaque échantillon de sortie. Les plugins passent donc par la FFT, par blocs, ce qui peut ajouter un peu de latence.
Linéaire et figé
Une réponse ne capte ni saturation (une lampe qui distord plus quand on joue fort) ni mouvement (chorus, réverbération modulée). Elle fige aussi une position : source et micro ne bougent plus.
Comment on s’en empare
Mesurer une réponse
On diffuse dans le lieu un balayage de fréquences (ou un claquement, un coup de pistolet d’alarme), on l’enregistre, puis on retire le signal diffusé de l’enregistrement (déconvolution). Il reste la réponse de la pièce, pour ce placement de haut-parleur et de micros.
La signature d’un objet
Les simulateurs d’ampli utilisent des réponses de baffles : le haut-parleur et le micro sont presque linéaires, contrairement à l’ampli lui-même, qui est modélisé à part. Même idée pour un téléphone, une radio ou un égaliseur à phase linéaire.
N’importe quel son comme réponse
Une réponse inversée, étirée, filtrée, ou un son qui n’a rien d’une pièce : un fragment de musique, une cloche, une voix. Chaque coup de la source déclenche alors ce son. On parle parfois de synthèse croisée.
Écouter : une source, plusieurs réponses
La source ne change pas : seule la réponse impulsionnelle change. À droite, son spectre montre le filtre qu’elle applique. Ces réponses sont fabriquées pour la démonstration, pas mesurées dans de vrais lieux ou sur de vrais appareils : elles ont la bonne forme, pas la richesse d’une vraie capture. Ce qui compte ici, c’est le principe.